Với các bài toán chứng minh đẳng thức đã khá quen thuộc với các bạn học sinh. Đặc biệt là bài cho a+b+c=0 cmr a3+b3+c3 =3abc đang được khá nhiều bạn quan tâm. Vì thế bài viết hôm nay sẽ giúp các bạn chứng minh đẳng thức này một cách dễ dàng nhất. Việc chứng minh các đẳng thức thì chúng ta sẽ phải vận dụng khá nhiều kiến thức tổng hợp. Để các bạn làm bài tốt hơn thì chúng tôi sẽ giúp bạn biết thêm về các phương pháp chứng minh một đẳng thức. Bài viết này sẽ cung cấp thêm cho bạn nhiều dạng toán tương tự.Vậy nên những kiến thức sau đây là nền tảng cho bạn làm tốt các dạng bài tập chứng minh đẳng thức. Vì thế mọi người đừng bỏ lỡ bài viết sau đây nhé.
Mục Lục
Phương pháp làm bài tập về chứng minh đẳng thức
Để làm tốt bài tập về chứng minh các đẳng thức thì chúng ta có thể vận dụng những phương pháp sau đây.
Phương pháp biến đổi
Với phương pháp này chúng ta có thể sử dụng cách đặt ẩn phụ, thêm bớt số hạng để đưa biểu thức đó thành một biểu thức khác. Và từ đó phân tích và đưa ra được điều phải chứng minh.
Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Đây là một phương pháp hữu ích và thường được sử dụng. Đối với phân tích đa thức thành nhân tử thì sẽ giúp cho biểu thức đó có thể trở nên rút gọn hơn so với trước. Chúng ta sử dụng các phép biến đổi để đưa về nhân tử. Và xem xét để đưa ra kết luận điều phải chứng minh.
Sử dụng các hằng đẳng thức
Đây là điều không thể thiếu được trong các bài toán chứng minh đẳng thức. Bạn phải ghi nhớ những hằng đẳng thức để có thể vận dụng vào biểu thức và biến đổi chúng. Chúng ta có các hằng đẳng thức đáng nhớ đã được chúng tôi nhắc ở những bài viết trước. Nếu mọi người không nhớ thì có thể tìm kiếm ở trên trang web này. Tuy nhiên đây là một phần quan trọng vậy nên mọi người hãy ghi nhớ thật kỹ chúng.
Giúp bạn giải bài toán toán: cho a+b+c=0 cmr a3+b3+c3=3abc
Với các phương pháp chứng minh ở trên thì bài toán cho a+b+c=0 cmr a3+b3+c3=3abc sẽ được chúng ta chứng minh một cách dễ dàng. Sau đây là các bước chứng minh đẳng thức này, các bạn hãy theo dõi thật kỹ.
Đầu tiên chúng ta phải đi phân tích a3+b3+c3 trước. Với(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Suy ra a3 + b3 = (a+b)3 – 3a2b – 3ab2 (sử dụng phương pháp hằng đẳng thức đáng nhớ). Thay vào a3+b3+c3 ta được: (a+b)3 – 3a2b – 3ab2 +c3 = ((a+b)3 + c3) – 3ab(a+b) = (a+b+c)((a+b)2 – (a+b)c+c2) – 3ab(a+b)
Để chứng minh a3+b3+c3=3abc thì chúng ta có thể chứng minh: a3+b3+c3 – 3abc = 0 tương đương với:
(a+b+c)((a+b)2 – (a+b)c+c2) – 3ab(a+b) – 3 abc = 0 suy ra:
(a+b+c)((a+b)2 – (a+b)c+c2) – 3ab(a+b+c) = 0 tương đương( a+b+c)((a+b)2 – (a+b)c+c2 – 3ab) =0
Vì a+b+c = 0 nên ( a+b+c)((a+b)2 – (a+b)c + c2 – 3ab) =0 suy ra : a3+b3+c3 – 3abc = 0 như vậy a3+b3+c3=3abc khi a+b+c = 0. Đây là điều chúng ta phải chứng minh.
Bài toán trên chúng ta phải áp dụng khá nhiều phương pháp về phép biến đổi về sử dụng hằng đẳng thức. Như vậy một bài toán chúng ta phải kết hợp linh hoạt giữa các phương pháp với nhau.
Một số bài toán mẫu về chứng minh đẳng thức bạn nên biết
Cũng giống như các dạng toán khác thì bài toán về chứng minh đẳng thức để làm được dạng toán này chúng ta phải thực hành thật nhiều. Khi đó gặp những bài toán tương tự bạn có thể dễ tìm được phương pháp giải thích hợp. Sau đây là một số bài toán bạn thường gặp:
Bài tập 1
Cho ba số a,b,c thỏa mãn: (3a+3b+3c)3 = 24 +(3a+b – c)3 + (3b+c – a)3+ (3c + a – b)3
Hãy chứng minh rằng: (a+2b)(b+2c)(c+2a) = 1
Gợi ý: ở bài toán này chúng ta hãy đặt ẩn phụ bởi vì các dữ liệu bài cho khá dài. Ta có thể đặt 3a+b – c =x , 3c + a – b = y, 3c + a – b = z. Từ đó bạn hãy phân tích biểu thức đã cho qua ẩn phụ thì chúng ta dễ dàng tìm ra được điều phải chứng minh.
Bài tập 2
Cho ba số a, b, c thỏa mãn 2a + b + c = 0. Hãy chứng minh đẳng thức sau: 2a3+ b3+ c3 = 3a(a+b)(c-b)
Bài tập 3
Cho các số x, y, z khác nhau thỏa mãn điều kiện sau: x3 = 3x- 1, y3 = 3y- 1, z3 = 3z- 1. Hãy chứng minh rằng x2+ y2+z2 = 6 với mọi số thực x, y, z.
Như vậy bài toán cho a+b+c=0 cmr a3+b3+c3=3abc đã được chúng ta hoàn thành với những bước khá đơn giản. Bài viết cũng đã giúp bạn biết thêm một số phương pháp khi làm bài toán về chứng minh đẳng thức. Mọi người chỉ cần đọc thật kỹ những phương pháp đó và áp dụng nó vào các bài tập. Với mỗi phương pháp sẽ tương đương với những phần kiến thức lý thuyết khác nhau. Mọi người chỉ cần ghi nhớ thật kỹ những kiến thức đó là có thể dễ dàng giải quyết các dạng bài tập tương tự. Các dạng bài tập về chứng minh đẳng thức không quá khó đối với mỗi người. Vì vậy mọi người chỉ cần đọc thật kỹ và làm thật nhiều dạng bài tập liên quan là có thể hoàn thành tốt những bài kiểm tra tương tự. Hi vọng những kiến thức trên sẽ giúp mọi người làm tốt bài tập về chứng minh đẳng thức hơn. Và đừng quên comment vào phía dưới bài viết khi đã đọc xong nhé các bạn.